«Մխիթար սեբաստացի» կրթահամալիր քոլեջ 2-3 կուրս

Ֆունկցիայի էքստրեմումները և ածանցյալը

Ֆունկցիայի ծայրահեղություններն այն ֆունկցիայի արժեքներն են, որոնք ամենամեծն են կամ ամենափոքրը տվյալ միջակայքում: Ծայրահեղությունը կարող է լինել տեղական (առաջանում է միջակայքում) կամ գլոբալ (ամբողջ ընդմիջման ընթացքում):

Ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել դրա ածանցյալները: Տվյալ կետում ֆունկցիայի ածանցյալը ցույց է տալիս տվյալ կետում ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը։ Ֆունկցիայի ծայրահեղությունը կարող է լինել այն կետերում, որտեղ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի:

Ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու համար պետք է.

Գտի՛ր ֆունկցիաների ածանցյալները:
Գտի՛ր այն կետերը, որտեղ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի:
Ստուգեք գործառույթի արժեքները գտնված կետերում և համեմատեք դրանք՝ որոշելու տեղական և գլոբալ ծայրահեղությունները:

Հուսով եմ, որ սա կօգնի ձեզ ավելի լավ հասկանալ ֆունկցիաների ծայրահեղությունները և ածանցյալները: Եթե ունեք լրացուցիչ հարցեր, մի հապաղեք հարցնել:

Ֆունկցիայի հետազոտումն ածանցյալի միջոցով։

Գործառույթն իր ածանցյալով ուսումնասիրելու համար կարող եք օգտագործել ֆունկցիայի ծայրահեղության, միապաղաղության և ուռուցիկության վերլուծության մեթոդներ:

Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը և պարզենք, թե որտեղ է այն հավասար զրոյի։ Այն կետերը, որոնցում ածանցյալը զրոյական է կամ գոյություն չունի, կարող են լինել ֆունկցիայի ծայրահեղ կետեր:

Օգտագործելով երկրորդ ածանցյալը, մենք պարզում ենք, թե արդյոք այն կետը, որտեղ ածանցյալը հավասար է զրոյի, նվազագույն կամ առավելագույն կետ է:

Եկեք ստուգենք ֆունկցիայի միապաղաղությունը ծայրահեղ կետերի միջև ընկած միջակայքերի վրա: Դա անելու համար կարող եք օգտագործել առաջին կարգի ածանցյալը:

Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիայի ուռուցիկությունը և գոգավորությունը, դրա համար օգտագործում ենք երկրորդ ածանցյալը: Եթե երկրորդ ածանցյալը դրական է ինտերվալի վրա, ապա ֆունկցիան ուռուցիկ է, եթե բացասական է՝ գոգավոր։

Գտնենք ֆունկցիայի թեքման կետերը, որտեղ երկրորդ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի։

Օգտագործելով այս մեթոդները, դուք կարող եք մանրամասն տեղեկություններ ստանալ ֆունկցիայի վարքագծի մասին ինտերվալի վրա և ընդգծել դրա գրաֆիկի հիմնական բնութագրերը:

Ֆունկցիայի էքստրեմումները և ածանցյալը

Ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու համար պետք է.

Գտի՛ր ֆունկցիաների ածանցյալները:
Գտի՛ր այն կետերը, որտեղ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի:
Ստուգեք գործառույթի արժեքները գտնված կետերում և համեմատեք դրանք՝ որոշելու տեղական և գլոբալ ծայրահեղությունները:

Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը և ածանցյալը

Մոնոտոնության ֆունկցիան ֆունկցիայի հատկությունն է՝ պահպանելու փոփոխականի աճող կամ նվազման կարգը։ Երբ ֆունկցիան պահպանում է աճող կարգը, ասում են, որ այն միապաղաղ աճող է, իսկ երբ ֆունկցիան պահպանում է նվազման կարգը, ասում են, որ միապաղաղ նվազող է:

Ֆունկցիայի ածանցյալը նրա ածանցյալն է, որը ցույց է տալիս, թե ինչպես է ֆունկցիան փոխվում իր արգումենտի նկատմամբ։ Ֆունկցիայի ածանցյալը ցույց է տալիս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը նրա սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր կետում:

Ֆունկցիայի կրիտիկական կետերն այն կետերն են, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի։ Կրիտիկական կետերը կարող են լինել ֆունկցիայի ծայրահեղությունները (նվազագույնը, առավելագույնը կամ թեքման կետերը), ինչպես նաև բեկման կետերը կամ մակարդակի գծերի հատման կետերը:

ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող

Որոշակի կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողն այն ուղիղ գիծն է, որը դիպչում է տվյալ կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին և ունի նույն անկյունային թեքությունը, ինչ տվյալ կետի ֆունկցիայի գրաֆիկի կորը: Շոշափող հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է երկու պարամետրով գտնել գծի հավասարումը.

Եթե տրված է (f(x)) ֆունկցիան, ապա (x_0) կետում այս ֆունկցիայի շոշափողի հավասարումը գտնելու համար մենք կատարում ենք հետևյալ քայլերը.

Գտի՛ր (f'(x)) ֆունկցիայի ածանցյալը:
Հաշվի՛ր ածանցյալի արժեքը (x_0) կետում՝ ստանալով (f'(x_0)):
Փոխարինեք (x_0, f(x_0)) կետի կոորդինատները և ածանցյալի գտնված արժեքը շոշափող հավասարման բանաձևով: Շոշափող հավասարումն ունի ձև՝ (y = f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0)):

Հետազոտական աշխատանքի գրախոսական

Թեմա` «Թվային տեխնոլոգիաներ»

Հետազոտական աշխատանքը կատարել «Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիրի Ավագ հետազոտական վարժարանի 10-րդ դասարանի սովորող սովորող Անդրանիկ Փարադյանը։

Ներածությունում անրադարձել է բուն թեմային, սահմանել է աշխատանքի նպատակը, ներկայացրել է ուսումնասիրվող նյութի ամբողջական հերթականությունն ու ընթացքը։

Գլուխ 1-ում խոսել է պրոցեսորների մասին և տվել ամբողջական պատկերացում նրանց մասին։ Ներկայացրել է տրամաբանական դետալները, երկուական կոդով աշխատելու սկզբունքը, ներկայացրել է պրոցեսորի կողմից իրականացվող հաշվարկների հերթականությունը։ Նաև նկարագրել է համակարգչի բաղկացուցիչ մասերը։

Գլուխ 2-ում ներկայացրել է օպերացիոն համակարգերը և տվել ամբողջական պատկերացում նրանց մասին։ Քննարկել է այնպիսի ՕՀ-եր, ինչպիսիք են Windows, Mac os, Linux ՕՀ-ը և այլն, այն ծրագրավորման լեզուները, որոնցով ստեղծվել են տվյալ ՕՀ-երը, ներկայացրել է նաև մոնոլիտային, հիբրիդային, միկրո, մոդուլային, նանո, էկզո միջուկները։

Գլուխ 3-ում խոսել է ֆայլերի և ֆորմատների մասին և տվել ամբողջական պատկերացում նրանց մասին, ներկայացրել է նրանց կոդավորումը։

Գլուխ 4-ում ներկայացրել է web server – ի և browser – ի համագործակցությունը և տվել ամբողջական պատկերացում նրանց մասին։ Աշխատանքում խոսել է IP հասցեների, port, server հասկացությունների մասին, browser-ի մասին, տվել է browser-ի օրինակներ, ներկայացրել է հոսթինգները (հosting), IP հասցեները, domain-ները։

Աշխատանքը ունի եզրակացություն, որտեղ արտացոլվում է նպատակը և ամբողջացվում է միտքը։ Աշխատանքի վերջում առկա է օգտագործված գրականության ցանկը, որը բաղկացած է հղումներից։ Աշխատանքը սովորողի գրեթե չորս տարվա պրպտումների արդյունք է, իսկ հղումները հիմք են հանդիսացել տրամաբանական կապ և հաջորդականություն ստեղծելու գործում։

Այսպիսով՝ աշխատանքը ամբողջական է, համապատասխանում է թեմային, իրականացվել է նպատակը։ Աշխատանքը կարող է ներկայացվել պաշտպանոլթյան և ստանալ բարձր գնահատական, սակայն հարկ եմ համարում նախ ուղղել չնչին ուղղագրական սխալները և օգտագործված գրականության ցանկը ներկայացնել եզրակացությունից հետո։

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։c’;

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝ $\lim _{x\to c}f(x)=L,$

և կարդացվում է $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝ $f(x)\to L{\text{ as }}x\to c$ ։

Ֆունկցիայի սահման

Ենթադրենք $f$ -ը իրական ֆունկցիա է իսկ $c$ -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունըlim→ $\lim _{x\to c}f(x)=L$

ինտուիտիվ նշանակում է, որ $f(x)$ ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ $L$ -ին՝ $x$ թիվը $c$ -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե $f(c)\neq L$ ։ Տրված $f$ ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել $c$ կետում։

Օրինակ, եթե $f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

ուրեմն(1) $f(1)$ -ը սահմանված չէ, բայց երբ $x$ -ը ձգտում է 1 $1$ -ի, $f(x)$ -ը ձգտում է 2 $2$ -ի.

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	սահմանված չէ	2.001	2.010	2.100

Հետևաբար, $f(x)$ -ի արժեքը կարող է 2 $2$ -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ $x$ ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, lim $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$ ։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական $x$ թվի համար ${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1$ ։

Քանի որ 1 $x+1$ ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել1 $x=1$ արժեքը, հետևաբար՝ $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2$ ։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝ $f(x)={2x-1 \over x}$

f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000) = 1.99990

Շատ մեծ $x$ արժեքների դեպքում $f(x)$ ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ $x$ -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝ $\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2$ ։

Հաջորդականության սահման]

Հիմնական հոդված՝ Հաջորդականության սահման

Ենթադրենք $a_{1},a_{2},...$ -ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ $L$ իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ,

որը կարդում են՝ $a_{n}$ հաջորդականությանը սահմանը, երբ $n$ -ը ձգտում է անվերջության, $L$ է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որԿամայական>00}”> իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի $N$ բնական թիվ, որ բոլոր N}”> թվերի համար ճիշտ է <img src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85251ef62e15c6fd0f510879850064ac6034c969″ alt=”{\displaystyle |a_{n}-L| արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ $|a_{n}-L|$ բացարձակ արժեքը $a_{n}$ -ի և $L$ -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ $a_{n}$ հաջորդականության սահմանը, երբ $n$ -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ $n$ բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։Posted in Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի